מה עוד אפשר לעשות עם תיכוני משולש
מדור: חקירה מתמטית
כתב: יונתן אחיטוב
תקציר: במאמר שני פרקים.
בפרק הראשון מוצגות שתי טענות עיקריות :
1. בהינתן משולש כשלהו, אפשר לבנות משולש שני, אשר צלעותיו תהיינה שוות באורכן לאורכי התיכונים במשולש המקורי וזוויותיו שוות בגודלן לשלוש הזוויות שבין שלושת התיכונים.
2. אם בונים משולש שצלעותיו הן תיכוני משולש נתון, (משולש התיכונים יכונה להלן 'הבן' של המשולש המקורי), ואם בונים גם למשולש התיכונים 'בן' אז 'הנכד' דומה ל'סבא', ויחס הדמיון הוא 3:4.
לטענות אלה מוצגות שתי הוכחות שונות, האחת באמצעים קלאסיים, והשניה בעזרת ווקטורים.
כהמשך לטענה השניה מוצגות שלוש סדרות הנדסיות אינסופיות בעלות מנה משותפת.
בפרק השני מוצגת השאלה האם יש הכרח לדלג מ'סבא' לנכד כדי לקבל משולש דומה. כתשובה מוצגת משפחה חדשה של משולשים המכונה משולשים תיכוניים, בה נשמר הדמיון במעבר ממשולש האב למשולש התיכונים שלו (הבן). בפרק זה נחקרות עוד תכונות גיאומטריות מגוונות של משפחה זאת.
המחבר משלב מושגים מגיאומוטריה אוקלידית, טריגונומטריה ואלגברה.
מקור: על"ה 30, תשס"ג 2003
