חט"ע: מרכז אילנות- אולם אלון

ורדה זיגרסון ופרופ' נצה מובשוביץ-הדר, הטכניון

 תקציר: תכנית הלימודים במתמטיקה (בישראל ובארצות רבות), אינה משקפת את הנעשה במתמטיקה בת-זמננו ואינה מאפשרת לתלמידים להתרשם מטבעה המתפתח בהתמדה הודות לעבודתם של מתמטיקאים שממשיכים בלי הרף לגלות תגליות חדשות. כתוצאה מכך, נוצר אצל מרבית התלמידים דימוי (מוטעה) שהמתמטיקה היא תחום דטרמיניסטי, לא יצירתי, ולא מעניין שאין להם בו עתיד עם אפשרות לתרומה וליצירה. 
התוצאה: מחסור במתמטיקאים באוניברסיטאות ובבעלי השכלה תלוית-מתמטיקה בתעשייה. 
פתרון אפשרי: כדי לגשר על הפער פיתחנו, במסגרת "קשר חם" (מרכז מו"פ בטכניון) הבזקי חדשות במתמטיקה, לפי הצעה רעיונית של נצה מובשוביץ-הדר (2008). כל הבזק הוא מצגת בת 20-25 דקות, המוקדשת להיכרות עם חדשה אחת, כולל הרקע ההיסטורי שלה ומידע על המתמטיקאים שהתמודדו אתה, ברמה התואמת את הידע המתמטי של תלמידי תיכון. בעבודת הדוקטורט שלה, הוכיחה בתיה עמית (2011) כי ניתן לשלב הבזקי חדשות בשיעורי המתמטיקה מבלי לפגום בקצב ההתקדמות בהוראת תכנית הלימודים המחייבת. לאור זה, התבצע בחסות האקדמיה הלאומית למדעים, ניסוי קליני, בו לקחו חלק צוותי המתמטיקה בשלושה בתי ספר גדולים, שקיבלו הנחייה ושילבו הבזקי חדשות במגוון כיתותיהם בחטיבה העליונה. תוצאות הניסוי הוצגו בכנס ירושלים הראשון למחקר בחינוך מתמטי (פברואר 2013). התגובות של המורים ותלמידיהם עודדו אותנו להמשיך בהפצת ההבזקים ולהתמיד בהכנת הבזקים נוספים. לאור זה יצאנו בתשע''ד למהלך הטמעה מקוון המאפשר למורים מכל רחבי הארץ להתנסות בשילוב הבזקי-חדשות במהלך השגרתי של הוראת המקצוע. 
מהלך ההטמעה: החל משנת תשע"ד, מורים מרחבי הארץ משתתפים בהשתלמויות מקוונות שבמסגרתן הם נחשפים להבזקי-חדשות, ומשלבים אותם בכיתותיהם. 
בכנס המורים תשע"ה: נציג הבזק לדוגמה, נעמוד על האתגרים העומדים בפני המורים למתמטיקה בבואם לשלב את הבזקי החדשות בהוראת המתמטיקה בכל הרמות לכל תלמידי החט"ע, ונשמע מפי מורים שהשתלמו באופן המקוון והתנסו בשילוב הבזקי חדשות בכיתותיהם. בנוסף, נעמוד גם על האתגר הכרוך בהמשך הפיתוח של הבזקי חדשות ובעדכונם המתמיד. ההצגה בכנס מיועדת למורים למתמטיקה בחט"ע המעוניינים להתוודע אל ההבזקים והפוטנציאל הכרוך בהם, ולמורי-מורים למתמטיקה המעוניינים להירתם לפיתוח הבזקי חדשות נוספים ולהכשרת מורים לשילוב הבזקים בכיתותיהם.

 מצגת

חט"ע: מרכז אילנות- אולם אלון

פרופ' נצה מובשוביץ-הדר, הטכניון

 תקציר: בהרצאה נתוודע אל עבודתו המדהימה של ג'וליה גסטון - מתמטיקאי צרפתי צעיר שנפצע במלחמת העולם הראשונה והשתעשע במספרים המרוכבים במהלך אישפוזו הממושך. בין ניתוח לניתוח הוא פיתח, הרבה לפני עידן הגרפיקה הממוחשבת, את הבסיס המתמטי לתורת הפרקטלים שמנדלברוט חשף לקראת סוף המאה העשרים. ההרצאה תלווה במצגת ובאנימציות מרהיבות.

 מצגת

חט"ע: מרכז אילנות- אולם אורן (קומה 2)

פרופ' עטרה שריקי, אורנים - המכללה האקדמית לחינוך, ד"ר ליאורה נוטוב, האקדמית גורדון

 תקציר: מושגים מתמטיים ופעולות מתמטיות הינם מבנים פורמליים ומופשטים. מכיוון שבמתמטיקה האינטואיציה לא תמיד תואמת את החוקים והתוצאות המתקבלות, הרי שתלמידים עלולים להיתקל בקשיים בהבנת המשמעות של מושגים ופעולות אם לא מאפשרים להם להישען על עדויות אמפיריות או על מודל אשר יסייע להבהיר את משמעותם (Fischbein, 1989). בפרט נכון הדבר כאשר מדובר במושגים כגון "אינסוף" ו"גבול". מעבר לכך שמדובר במושגים מופשטים, רבים מהתלמידים מתקשים להמשיג את הגבול כאובייקט העומד בפני עצמו, ונוטים לראות בכך תהליך אינסופי שאינו מסתיים לעולם (Kidron & Tall, 2015). 
סדרות גיאומטריות אינסופיות מתכנסות הן דוגמה לכך. מניסיוננו כמורות, לעיתים קרובות תלמידים אינם מצליחים להבין את "ההיגיון" העומד מאחורי העובדה שלמרות שבסדרה כזו יש אינסוף איברים הרי שסכומה הוא מספר סופי. על אף שמוצגת לתלמידים הוכחה אלגברית המאמתת את תוצאה זו, הרי שאין בכוחה של ההוכחה הפורמלית לתמוך בהבנת המשמעות של תוצאה שהיא כה מנוגדת לאינטואיציה. לכן, על מנת לסייע לתלמידים לגשר בין הממצא הבלתי צפוי לבין האינטואיציה המטעה מומלץ להמחיש את הנושא באופן ויזואלי (Roh, 2008). 
בהינתן האמור לעיל, אנו מציעות להיעזר בפרקטלים כמודל ויזואלי הממחיש את התוצאות המתקבלות מסכימה של אינסוף איברים של סדרה הנדסית מתכנסת. תוך שימוש בקבוצת קנטור, פתית השלג של קוך, והשטיח של שיירפינסקי נראה כיצד ניתן להבהיר את העובדה שסכום המידות של אינסוף קטעים או אינסוף שטחים של אובייקטים גיאומטריים הוא מספר סופי. 
לניצול הפרקטלים לצורך זה יש ערך מוסף הבא לידי ביטוי במתן הזדמנות לגילוי תכונות מפתיעות הקשורות למשמעות של צורות גיאומטריות שאינן קשירות, ולעובדה שקיימות צורות שמידת ההיקף שלהם היא אינסופית, אולם מידת השטח שלהם היא אפס או מספר סופי אחר. בנוסף, העיסוק בפרקטלים מהווה מקור לחשיפת התלמידים למתמטיקה בת זמננו, ובכך מסייע לעקור את הדימוי השכיח שיש לרבים מהם לפיו במתמטיקה אין כבר מה לחדש, והכל כבר ידוע מזה שנים (Movshovitz-Hadar, 2008).

 מצגת

חט"ע: מרכז אילנות- אולם אורן (קומה 2)

ד"ר לאה דולב, מנהלת הוראת המתמטיקה אורט ישראל

 תקציר: השיח בנושא חלופות בלמידה ובהערכה מתמקד בעיקר בתרומה האפשרית ללמידה משמעותית של התלמידים. מצידו של המורה, מודגש הצורך לשינוי בתפישת התפקיד: מבעל הידע שגם קובע את ההתנהלות בכתה, למנחה ומלווה תלמידים עצמאיים בעבודתם. 
בהרצאה זו אציג סיפור מקרה המדגים את הרעיון שהטמעת חלופות בלמידה ובהערכה יכולה לתרום גם לידע המתמטי של המורה המנחה עצמו. 
הסיפור מתאר חקירה-למידה מתמטית שנעשתה במספר שלבים על-ידי חוקרים-לומדים שונים: שתי תלמידות תיכון, המורה שלהם (אני) ומורה מורים (אבא שלי). החקירה המתמטית התמקדה בחיפוש נוסחה של פונקציה שתעמוד באילוצי בעיה שהוצגה באופן גראפי. החוקרים טיפלו במשואות של ישרים, בחקירה של פונקציה עם פרמטר ובמשיקים שלה וכן בניסוח ופתרון של משואה דיפרנציאלית. 
מבט רפלקטבי על תהליך החקירה-למידה שלי מצביע על כך שבדומה לתלמידות שלי, הקדשתי תשומת לב רבה לקידום הפתרון ולא תמיד הקפדתי על דיוק מתמטי ועל כתיבה פורמלית. תובנה זו מחברת אותי לאמירה של התלמידות "למה לנמק ולהסביר את מה שנראה מובן מאליו?". במהלך רגיל של ההוראה זו אמירה שכנראה הייתי מבטלת. במהלך ההנחיה נתקלתי בסוגיות מתמטיות שלא הצלחתי לפתור בעצמי ובודאי שגם לא יכולתי להנחות את התלמידות למצוא דרך לפתרון. רעיונות מתמטיים שנראו במבט ראשון מבטיחים ומקדמים התבררו כלא מתאימים. כדי להתקדם בפתרון הסוגיות המתמטיות נאלצתי להתייעץ עם מומחה ולעיין בספרות מקצועית. התיעצות וקריאת חומר אקדמי אינם מהלכים שכיחים בשגרת ההוראה שלי. תהליך החיפוש אחר תשובות זימנו לי חווייה מרתקת ומשמעותית של לימוד מתמטיקה. 
מכאן, שיש מקום לתכנן ולבצע השתלמויות מתאימות למורים שמטמיעים בכיתותיהם חלופות בלמידה ובהערכה. בהשתלמויות אלו ניתן יהיה להעצים את התרומה של הנחיית תלמידים להתפתחות מקצועית של מורים גם מההיבט של העמקה והרחבה של הידע המתמטי של המורה. מבחינת התנהלות ההשתלמות יש מקום לבדוק את האפשרות לחקות את הגישה של מורה מנחה תלמידים חוקרים ולהתאימה לגישה של מורה-מורים מנחה מורים חוקרים. אך כאן, מורים שחוקרים גם מתמטיקה וגם את הוראתה.

 מצגת

חט"ע: מרכז אילנות- אולם יערה

מני פורת

 תקציר: "אקסל" היא התוכנה הנפוצה ביותר. למעלה ממיליארד(!) אנשים בעולם משתמשים בה. 
היא מכילה פונקציות רבות (מתמטיות ואחרות), היא מאפשרת הצגה גרפית של נתונים (בלחיצת כפתור), היא מאפשרת סימולציות לתסריטים שונים ויש בה גם שפת תכנות מובנית (VBA) לכתיבת אפליקציות המשתלבות עם "אקסל" או עם תוכנות "אופיס" אחרות, ועוד ועוד... בשנים האחרונות, ה"סמרטפון" תופס חלק הולך וגדל של עולמנו. יותר ויותר תוכנות ואפליקציות זמינות על פלטפורמה זו ודומות לה. זה כולל, כמובן, את תוכנות חבילת "אופיס" ש"אקסל" היא מרכיב חשוב בה. 
לכן, חשוב שנלַמֵד כבר בביה"ס התיכון את תוכנת "אקסל", אשר תשמש את התלמידים גם בלימודי המתמטיקה (כפי שאציג במצגת) אבל גם לאחר סיום ביה"ס, בחיי היום-יום ובעבודה. 
בהדרגה, כך אני מאמין, ייעלם הצורך במחשבונים מסורבלים ומבלבלים.... בהרצאתי אדגים מספר מקרים (test cases) בהם מסייעת לנו "אקסל" בנושאים שונים ומגוונים בהוראת המתמטיקה בחטיבה העליונה של ביה"ס התיכון (5 יחידות, אבל לא רק...).

 מצגת

חט"ע: מרכז אילנות- אולם יערה

אינה ולטמן, תיכון עירוני ט', תל אביב, מדריכה בחט''ב, מחוז תל אביב

 תקציר: כיצד אנחנו עובדים בכיתה במהלך פתרון של בעיה נתונה מספר לימוד? האם שואלים שאלות שלא מופיעות בספר? באילו מצבים? מה המטרה של השאלות האלה? 
הסיבות הנפוצות לשאול שאלות נוספות הן צורך בחזרה (למשל, משפטים בגיאומטריה), טעות שנעשתה / מניעת טעויות נפוצות, הבהרת היבטים שונים של הסיטואציה המתמטית שנדונה בבעיה.
אני טוענת שבהוראה ברמות גבוהות של לימוד, לשאלות כאלה יש תפקידים נוספים: השוואה עם בעיות אחרות לצורך זיהוי קשרים או העלאת רעיון לפתרון נוסף, הכללה או דיון במקרה פרטי, הוספת מרכיבי חקר וגילוי, הצבת בעיות חדשות על בסיס אותם הנתונים וניסוח בעיה כרבת עוצמה. 
לדוגמה, בפתרון בעיה אודות טרפז ניתן לשאול האם ייתכן כי אלכסוני הטרפז חוצים זה את זה; האם ייתכן שרק אלכסון אחד של הטרפז נחצה ע''י נקודת מפגש האלכסונים, ועוד מגוון שאלות המשך ברמת קושי שונה המתאימות לכיתות ט' - י''א (השאלות יוצגו בהרצאה). מבחינה מתמטית ודידקטית, שאלות אלה יוצרות ערך מוסף לבעיה ומסייעות לפיתוח הבנה עמוקה יותר של התהליכים, חשיבה מסדר גבוה ויוצרות "עומס מחשבתי" – דהיינו, יוצרות סביבה לפיתוח ראיה מתמטית רחבה וכוללנית. הדבר הכרחי בחינוך מתמטי של התלמידים ברמות לימוד מוגברות, במיוחד 5 יח''ל, כפי שתואר בספרות המקצועית. 
בנוסף, בעזרת שאלות נוספות ניתן להפוך בעיה למאתגרת ומעניינת יותר עבור התלמידים. בהרצאה יוצגו מגוון דוגמאות מניסיון ההוראה בכיתות ט' - י''ב (מצוינות ו- 5 יח''ל) מלוות ביישומונים דינמיים ותינתן סקירה קצרה של הספרות.

מצגת
קבצי ג'אוג'ברה:
וקטורים
פרבולה
lan line
line

חט"ע: מרכז אילנות- אולם יערה

פרופ' משה סטופל, מכללת שאנן וד"ר רותי סגל, הפיקוח על הוראת מתמטיקה, מכללת אורנים, ומכללת שאנן, חיפה

 תקציר: במסגרת הוראת הנושא מקומות גיאומטריים המורים מזמנים לתלמידים היכרות עם סוגים שונים של משימות. לא תמיד מתקיים בכיתה דיון על הקשר בין המשימות השונות, כמו גם על תכונה משותפת שלהן. במסגרת זו ניתן לשלב פעילויות חקר המובילות לזיהוי תכונה משמרת, המאפשר שימוש בתכונה לפתרון בעיות שונות במתמטיקה. זיהוייה של התכונה המשמרת מוביל להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים והקשרים ביניהם. 
המקום הגיאומטרי כהגדרתו, משמר תכונה או תכונות אחדות וניתן להשתמש בתכונות אלו להוכחה של מגוון רחב של בעיות. 
הוספת תנאים של שימור למקומות גיאומטריים יסודיים, מאפשרת קבלת מקומות גיאומטריים. לפעמים הוספת תנאי מביאה ליצירת מקום גיאומטרי אחר ולפעמים הוספת התנאי אינה משפיעה על המקום הגיאומטרי המתקבל. 
ההנדסה האנליטית היא אחד מתחומי המתמטיקה הבולטים שבהם נעשה שימוש רחב במקומות הגיאומטריים. 
לפעמים הוספת דרישה מביאה ליצירת מקום גיאומטרי כצורתו של המקום המקורי ולפעמים נוצר מקום גיאומטרי אחר. במסגרת זו בחרנו להתמקד בחקר של מקומות גיאומטריים הדומים בצורתם למקום הגיאומטרי המקורי. 
במסגרת הסדנא תוצג הצעה להוראה המשלבת שימוש בתוכנה דינמית המאפשרת ללומדים לגלות תופעות מתמטיות , מודלים מתמטיים, ייצוגים מגוונים וקשרים בין תיאורים גרפיים תוך התייחסות למושגים מתמטיים, ובעיקר לתכונה הנשמרת במהלך השינוי הדינמי. 
השימוש בתוכנה דינמית מסייע לתלמידים לפתור בעיות באמצעות למידה מדוגמאות. התלמידים מסיקים מהדוגמאות את המהלכים המהותיים, עוקבים אחרי התכונות הקריטיות של המושג ואחרי התכונה הנשמרת תוך כדי שינוי ובכך נחשפים לא רק לצורות הגאומטריות אלא גם למשמעות של המושג מקום גאומטרי ומשמעות השימור שבו.

 מצגת

חט"ע: מרכז ראשונים- אולם חצבלת

אהובה גוטמן, פרופ' אברהם הרכבי, ד"ר רוני קרסנטי וצילה ירחי - המחלקה להוראת המדעים, מכון ויצמן למדע

 תקציר: בפרויקט עדש"ה (עמיתים דנים בשיעורי המתמטיקה), מטעם מכון ויצמן, אנחנו צופים בשיעורי מתמטיקה מוסרטים ודנים בהם על פי ששת מרכיבי הניתוח הבאים: (1) רעיונות מתמטיים; (2) מטרות; (3) משימות ומטלות; (4) אינטראקציה עם התלמידים; (5) דילמות וקבלת החלטות; (6) מסרים ואמונות המורה (Karsenty & Arcavi, 2014). 
פרויקט עדש"ה עוצב במטרה לפתח יכולות רפלקטיביות ולהעמיק את הידע התכני-פדגוגי של מורים למתמטיקה. הפרויקט מתבסס על המודל של שונפלד (Schoenfeld, 1998), שעל פיו ניתן לנתח את החלטות המורה ואת פעולותיו במונחים של הידע, האמונות והמטרות שלו, וכן על הכלים האנליטיים לניתוח שיעורים שפותחו בעקבות מודל זה Arcavi) & Schoenfeld, 2008). בסדנה זו נצפה בשיעור של ג'ורג' פוליה (Polya, 1945), מחברו של הספר הידוע "How to Solve It", שיעור שצולם בשנת 1966 (עם כתוביות בעברית). לשיעור שני רבדים מרכזיים: הבעיה המתמטית המעניינת המוצגת בו ("בעיית חמשת המישורים"), והגישה הדידקטית שפוליה מדגים. במהלך השיעור, תוך כדי פתרון הבעיה, פוליה מציג לסטודנטים שיטות שונות לפתרון בעיות ומראה כיצד ניחוש מושכל עשוי להיות יעיל. בהקדמה לשיעור המצולם, פוליה מציג את מטרת השיעור ואת האמונות שלו באשר להוראת מתמטיקה: 
1. הוראה טובה היא מתן הזדמנות לתלמידים לגלות דברים בעצמם.
2. שיטת הפתרון שמהותה "קודם לנחש ואחר כך להוכיח", היא שיטה שראוי להציגה בפני תלמידים. 
3. מתמטיקה בהתהוות מורכבת לעיתים קרובות מניחושים (בשונה ממתמטיקה "גמורה" שמורכבת מהוכחות). 
בסדנה ננתח את העיסוק בפתרון הבעיה המתמטית בשיעור זה, בדגש על היעדים הבאים: (1) הכרות עם הגישה של פוליה לפתרון בעיות; (2) התבוננות בתהליך "חי" של העמקה ברעיון מתמטי והכללתו; (3) העשרת הידע המתמטי להוראה (MKT) של המורה הצופה תוך התמקדות במאפיינים של הוראת מתמטיקה בשיטה של חקר וגילוי. הסדנה מיועדת לחובבי מתמטיקה ולמוקירי עבודתו של פוליה, ומתאימה במיוחד למורי חמש יחידות

 מצגת