לדמיין את המספרים המדומים

לדמיין את המספרים המדומים

תקציר | לדמיין את המספרים המדומים |פתרון  | لنتخيّل الأعداد الخياليّة

בפעילות זו נחפש את הקשר בין השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית לגרף הפרבולה שלה. היעזרו ביישום הדינאמי.

א. נתונה הפונקציה: 

1. מהם הפתרונות של המשוואה: ?
2. מהו קדקוד הפרבולה? מהו ציר הסימטריה?
3. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ב.נתונה הפונקציה: .

1. מהם הפתרונות של המשוואה: ? כמה פתרונות ממשיים שונים? 
2. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ג. נתונה הפונקציה: .

1. מהם הפתרונות הממשיים של המשוואה ? 
2. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? 
3. מצאו את השורשים המרוכבים של המשוואה.
4. תארו את מיקומם של השורשים המורכבים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ידוע לנו כי למשוואה ריבועית זו, אשר הפרבולה שלה "מרחפת", שני שורשים מרוכבים. אך השאלה היכן הם? ומדוע לא נוכל לראות אותם על הגרף? באופן מפתיע, אנו נמצא דרך פשוטה לאתר את השורשים בעזרת גרף הפרבולה וגרף נוסף שנקרא לו "האחות של הפרבולה". נזכור כי במישור המרוכב, ציר ה-x מייצג את החלק הממשי של המספר וציר ה-y מייצג את החלק המדומה.

ד. נתונה משפחת הפונקציות: .

1. הציגו ביישומון את שורשי המשוואה . מה ניתן לומר על שני השורשים המרוכבים ועל מיקומם ביחס לציר הסימטריה? 
2. שנו את הערך k ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת k את שורשי המשוואה .
3.  שנו את הערך p ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת p את שורשי המשוואה . 
4. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.
5. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.

ה. ניצור את גרף "האחות של הפרבולה" בעזרתו נאתר את מיקום השורשים המרוכבים.

שקפו את הפרבולה ביחס לישר y=4 וקבלו את גרף "האחות של הפרבולה". תארו את הגרף שלה ותנו ביטוי אלגברי למשוואתה.

ו. ניתן לומר על ארבעת השורשים של שתי הפרבולות האחיות?

ז. הסבירו את התהליך של מציאת השורשים המרוכבים ביחס לגרף הפרבולה, וחזרו על התהליך עבור המשוואה : .

ח. הביעו את שורשי המשוואה ואת שורשי משוואת הפרבולה האחות, בעזרת a,k,p. הוכיחו באופן אלגברי את הקשר בין השורשים.

מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים

סרטון מרהיב, החמישי בסידרה "מימדים", בו מציג בפנינו המתמטיקאי הצרפתי אדריאן דואדי את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים, וכיצד ניתן לראות את המישור הממשי כישר מרוכב.

קישורים נוספים בנושא מספרים מרוכבים

• הצעת פתיחה לנושא מספרים מרוכבים – גילה רון. הצגה יצירתית וקצת אחרת של המספרים המרוכבים.
• בסיס אינטואיטיבי למשפט היסודי של האלגברה - מובשוביץ-הדר, זסלבסקי ושמוקלר, על"ה 16.
• בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה? שלמה יונה
• מספרים מרוכבים - חוברת עזר בנושא מספרים מרוכבים שנכתבה על ידי שלמה מלמן
• כיצד נולדו המספרים? מצגת הסוקרת את ההתפתחות ההיסטורית המספרים עד להופעת המרוכבים.

יישומונים

• השורשים מסדר n
• פעולות שונות במספרים מכוונים בייצוג הגרפי –cut the knot
• Location of Complex Roots of a Real Quadratic – יישום של wolfram המציג את שורשי המשוואה הריבועית בתלת מימד.

סרטונים

• מורה פרטי 5 יח': מספרים מרוכבים א' – שיעור VOD מאת הטלוויזיה החינוכית
• מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים
• המשוואה של בטמן - Batman Equation - Numberphile