דמיון ברחבי העולם - מסע אל העבר

תקציר| דמיון ברחבי העולם| פתרונות| בערבית 

1. הפירמידה במצריים

תאלס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני, מהמאה ה-7 לפנה"ס. תאלס היה הראשון שראה את הצורך בחשיבה דדוקטיבית וחקר את רעיון ההוכחות הגיאומטריות. הוא מפורסם בשני משפטים גיאומטריים שנקראו על שמו, משפטי תאלס, האחד קשור לדמיון והשני למעגל.

הפירמידה הגדולה בגיזה שבמצריים, הידועה גם בשם הפירמידה של ח'ופו, הפרעה שבנה אותה, היא אחת משבעת פלאי תבל. רבים ניסו בעת העתיקה לאמוד את גובהה ללא הצלחה, אך תאלס (600 לפנה"ס) חישב את גובהה של הפירמידה באמצעים פשוטים ובעזרת הידע המתמטי שלו.

נשכב על החול ביום שמש ליד הפירמידה ובקש שיסמנו בחול את גובהו. לאחר שסמנו את גובהו בחול הוא נעמד בתחילת הסימון כך שגופו יצר צל לאורך הסימון על החול ומעבר לסימון. באותו זמן יצרה הפירמידה אותה ביקש למדוד צל משלה.

תאלס אמר לנלווים אליו:
"כאשר צילי יגיע לגובהי המסומן, מדדו את צל הפירמידה."

הם מדדו ומצאו שאורך צל הפירמידה 145 מ'. מה גובה הפירמידה? 

הסבירו את שיטת מדידתו של תאלס. 

2. בעית המיתרים של בסקרה – הודו

בסקרה (Bhaskra) אסטרונום ומתמטיקאי הודי מהמאה ה-12. מפורסם בפיתוח שיטות לפתרון משוואות ריבועיות ועוד, חיבר כללים לפעולות במספרים חיוביים ושליליים ואף הציג שתי הוכחות יפות ופשוטות למשפט פיתגורס בעזרת דמיון משולשים. 

בין שני עמודים בגובה 15 מטר ו-10 מטר,נמתחו מיתרים באלכסון. בנקודת המפגש בין המיתרים הוצב עמוד תומך. 
לא ידוע המרחק בין העמודים.

ג. אם ידוע שגובה שני העמודים a ו-b. הביעו באמצעות a ו-b את גובה העמוד התומך.  

3. התעלה בסאמוס (יוון)

באי סאמוס היפהפה שביוון העתיקה (הידועה כיום בשם פיתגוריה..), בעיר הנמל החשובה לא היו מספיק מים לתושבים ולצבא, אך היה שפע של מים בהרים. בשנת 530 לפנה"ס, נחפרה תעלה באורך של קילומטר דרך ליבו של הר אבן קשה (ההר קסטרו). שני צוותי חפירה התקדמו זה מול זה משני קצות התעלה והצליחו להיפגש באמצע כמעט ללא טעות. החופרים השתמשו בפטישים ואיזמלים בלבד, ולא היה ברשותם מצפן, מפה טופוגרפית או כל מכשיר ניווט אחר. זוהי משימה מאתגרת גם כיום עם יכולות הטכנולוגיה המודרנית. מהנדס חפירת התעלה, יאופלינוס (Eupalinos) השתמש בתכנון אך ורק בגיאומטריה ובפתרון פשוט ומפתיע הצליח לתת לשני צוותי החפירה את הזווית המדויקת בה יחפרו. כיצד עשה זאת?

הבעיה שהתמודד איתה אופלינוס היה לקבוע את הכוון של כל צוות חפירה. לשם כך ערך סיור רגלי מסביב לאי בין המעין שבהר עד לעיר הנמל בקצה השני, כשהוא הולך בקווים ישרים ואנכים זה לזה. הוא מדד את אורכי קטעי המסלול שלו, וכך הצליח לדמיין משולש ישר זווית עם הזווית המבוקשת.

א.   מה מתאר סכום הניצבים האנכיים?

ב.   כיצד ניתן למדוד את הניצב האופקי של המשולש?

ג.   כיצד קבעו היוונים זווית ישרה?

      יש הסוברים שהשתמשו בשני מקלות באורכים שווים וסימון האמצע של כל אחד מהם.
      הסבירו כיצד עובדת השיטה?

הרחבה:
השיטה המצרית למשולש ישר זווית: משולש מצרי (בעיה 4 בפיצוח קיפולי נייר גיאומטריים)

4. דמיון בסין

ראשית נכיר את עקרון "משני הצדדים". 

א. הנקודה E היא נקודה כלשהי על אלכסון המלבן ABCD. מעבירים מהנקודה E קטעים המקבילים לצלעות המלבן.
מה הקשר בין שטחי שני המלבנים שנוצרו (DHEG  ו- FEIB )? 
הזיזו את הנקודה E ביישומון, בדקו והוכיחו השערתכם.

ב. הראו כי המשולשים  ΔAFE~ΔEIC

ג. השתמשו בעקרון "משני הצדדים" (שוויון השטחים) בכדי לחשב את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.

ד. פתחו את עקרון "משני הצדדים" גם עבור מקבילית. 
    הראו כי המשולשים ΔAFE~ΔEIC דומים, וחשבו את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.
    נסחו משפט לגבי יחס הגבהים במשולשים דומים.

תוכלו להיעזר ביישומון. 

5. להשקיף על אי בים – סין

המתמטיקה הסינית שימשה את מהנדסי האימפריה הסינית במדידות של שטחי שדות, בהכנת לוח השנה, לצרכים צבאיים, נווט וכדומה. המתמטיקאי הסיני ליו הואי, בן המאה ה-3, כתב את הספר "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", ובאחד הפרקים כתב מדריך מתמטי לאי בים, הכולל בעיות שונות בנווט ופתרונן המתמטי.

כיצד נמדוד את גובהו של צוק הררי בלב ים ?
ליו הואי פיתח שיטה הנקראת "הפרש כפול" למדידת עצם רחוק מבלי להגיע אליו, בעזרת עקרון "הפנים חוץ".

"העמדתי שני מוטות באורך 3 מטרים במרחק של 1000 צעדים זה מזה, כך שיהיו בקו ישר עם האי. הלכתי אחורה 123 צעדים מהמוט הראשון עד שראיתי את קצה המוט וקצה הסלע בקו אחד. כך גם צעדתי 127 צעדים מהמוט השני. כך הצלחתי למדוד את הגובה של הסלע באי ומרחקו מהמוט. "

התוכלו גם אתם למדוד את גובה הסלע?

א.  השלימו את משולש AHI למקבילית. העבירו מהנקודה G שעל אלכסון המקבילית, מקבילים לצלעות. סמנו את המשולשים הדומים שהתקבלו.

ב.  חשבו את אורכי צלעות המשולשים בעזרת הפרשי האורכים הנתונים. היעזרו ביישומון

ג.  חשבו בעזרת עקרון "משני הצדדים" את גובה הסלע AB.

ד.  הכלילו את השיטה.

מקורות נוספים:

• ההנדסה של האימפריה, סרט של ערוץ ההיסטוריה על בניית תעלת סאמוס. (בערך 7 דקות)

פיצוחים בנושא דמיון: 

• פרויקט עולמי למדידת היקף כדור הארץ
• ממוצעי פיתגורס ועוד
• על כנפי הדמיון
• אני דומה לעצמי