על"ה 63 תשפ"ה, 2025

• גאומטריה אנליטית
• חקירה מתמטית
• מקומות גאומטריים

'מה אם לא מפגש תיכונים' – וריאציות ליצירת מקומות גיאומטריים בלתי שגרתיים

כתבה: חמוטל דוד
מדור: חקירה מתמטית

תקציר:
במאמר מתואר תהליך חקר מתמטי המתייחס למקומות גיאומטריים. תחילתו של החקר בפתרון שאלה סטנדרטית שבה מתקבלת אליפסה כמקום גיאומטרי של נקודות שהן מפגש תיכונים של משולש שווה שוקיים שבו קודקוד הראש נמצא על המעגל הקנוני x^2+y^2=R^2, אחד מקודקודי הבסיס נמצא בנקודה (R,0) וקודקוד הבסיס השני מונח על ציר ה־x. 

בשימוש באסטרטגיית החקר 'מה אם לא', נבחנים במאמר גם המקומות הגיאומטריים המתקבלים במעקב אחר המיקום של נקודות המפגש של חוצי הזווית, הגבהים והאנכים האמצעיים באותם משולשים שווי שוקיים. במאמר גם נבחנות תכונות של העקומים שמתקבלים. יצוין, שהעקומים המתקבלים אינם חתכי חרוט, ולכן בדרך כלל אינם נסקרים בתוכנית הלימודים.

הכלים המתמטיים הנדרשים בתהליך החקר עצמו לא גולשים אל מחוץ לתכנים של תוכנית הלימודים, כך שאפשר ומומלץ לכוון תלמידים מוכשרים לערוך חקר זה, לא כל שכן, לאתגר בו מורים.

• גאומטריה
• חקירה מתמטית
• חפיפת משולשים

היקף, שטח וחפיפה: חקירת תנאים המבטיחים חפיפת משולשים

כתב: אורי איינבינדר
מדור: חקירה מתמטית

תקציר:
המאמר מוקדש לחיפוש אחר תנאים המבטיחים חפיפת משולשים בגיאומטריה האוקלידית. לצד ארבעת משפטי החפיפה הידועים: צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ), זווית-צלע-זווית (ז.צ.ז), צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ) וצלע-צלע-זווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים (צ.צ.ז) – נבחנים תנאים נוספים המשלבים מאפיינים אחרים של המשולש: שטח והיקף.
נבדקת השאלה: האם שילוב של נתונים אלה עם מידע נוסף אכן מבטיח חפיפה?
המאמר מציג צירופי תנאים שאכן מבטיחים חפיפת משולשים, דוגמאות נגדיות והכללות, תוך כדי הסתמכות על עקרונות טריגונומטריים וגיאומטריים.

• פתרון בעיות
• מתמטיקה בחיי יום יום

תאומים ביום הולדת

כתב: אריה רוקח
מדור: מתמטיקה בהקשר

תקציר:
שאלה שהתעוררה ביום הולדת משותף של זוג תאומים החוגגים יחד עם שני אחיהם האחרים מובילה לחיפוש אחר שיטה כללית, מתאימה לכל מבנה משפחתי, של חישוב השתתפות אחים בהוצאות יום הולדת שנחגג ביחד.

מוצגות מספר דרישות לקבלת פתרון טוב. הדרישה הבסיסית היא שההשתתפות השנתית תהיה אחידה לכל האחים. פתרון הבעיה למקרה כללי של מבנה משפחתי (למשל תאומים ושלישיה) באמצעות מערכת משוואות מוביל לקבלת מערכת משוואות שבה מספר הנעלמים גדול יותר ממספר המשוואות, ואין פתרון יחיד המתאים לכל מבנה משפחתי. באמצעות ניחוש טוב מתקבלת שיטה לקבלת פתרון ייחודי עבור כל מבנה משפחתי, ול"מספרי קסם" החוסכים את הצורך בפתרון משוואות.

• גאומטריה
• חקירה מתמטית
• גאוגברה
• ישר אוילר

מסע בעקבות נקודות על ישר אוילר

כתבו: אריק הייליג ולב רדזיוילובסקי
מדור: מסע בעקבות

תקציר:
המאמר מתאר מסע בעקבות נקודות על ישר אוילר שהתגלו במפתיע תוך כדי הכנת פעילות העשרה לתלמידים. כחלק מהכנה של פעילות העשרה בנושא "ישר אוילר" לתלמידי תיכון הלומדים מתמטיקה בהיקף של חמש יחידות, הכין המחבר הראשון באמצעות פלטפורמת GeoGebra יישומון דינמי ותוך כדי כך הבחין בנקודות על הישר שלא הכיר קודם לכן, לא מצא לגביהן תיעוד בספרות וגם לא בעזרת כלי AI. הוא הוכיח את הימצאותן של הנקודות על ישר אוילר בעזרת גיאומטריה אנליטית והמשיך לחפש הוכחה המבוססת על גיאומטריה סינתטית. סמוך למועד פרסום המאמר קרו שני דברים: א. נמצא אזכור של הנקודות באתר הלימודי Brilliant; ב. נוצר קשר עם מאמן נבחרת ישראל לאולימפיאדת המתמטיקה 2025, לב רדזיוילובסקי שסיפק את ההוכחה המבוקשת. התברר שההוכחה היא מיידית כשמתבססים על משפט פאפוס - Pappus' hexagon theorem.
המאמר מלווה ביישומונים דינמיים הממחישים את התופעות המתוארות בו.

• הוכחות ויזואליות
• הוכחות
• מחקר בחינוך מתמטי

הוכחות ויזואליות – השקפותיהם ודעותיהם של מורי תיכון

כתבו: רז הראל ונדב מרקו
מדור: מהמחקר בחינוך המתמטי

תקציר:
למרות היתרונות הגדולים שבשימוש בהוכחות ויזואליות (חזותיות) סוג זה של הוכחות אינו נפוץ בכיתות הלימוד. במחקר קודם שבדק את עמדותיהם של תלמידי תיכון התברר כי רוב הנשאלים קיבלו את ההוכחה הוויזואלית שהוצגה להם כתקפה, אולם רובם גם סברו כי מוריהם בבתי הספר לא יקבלו סוג זה של הוכחה (הראל ודרייפוס, 2009). במחקר הנוכחי ביקשנו לבדוק אם מעמדן של הוכחות ויזואליות בעיני המורים בתיכון אכן נמוך כפי שסברו התלמידים. המחקר מאפשר לשוב להציג סוג זה של הוכחות, ולהתקדם צעד נוסף בדרך להבנת הסיבות לכך שהשימוש בהוכחות הוויזואליות אינו נפוץ בכיתות הלימוד.