החיפוש אחר המספר המופלא e

תקציר|החיפוש אחר המספר המופלא e | פתרונות לשאלות העמקת הכרות עם המספר e |البحث عن العدد العجيب e|

 

אומרים על המספר e שהוא בן-דודו הצעיר של p  אשר לראשונה הופיע במאה ה-17.  

המתמטיקאי הצרפתי פורייה הראה בשנת 1815 כי המספר e, בדומה ל-p,הוא מספר אי רציונאלי (שלא ניתן להביעו כמנה של שני מספרים שלמים). 

ולא רק זאת,  בשנת 1874 הצליח הצרפתי הרמיט  להוכיח כי e, כמו בן דודו הקשיש p, הוא מספרטרנסצנדנטי, מספר לא אלגברי, כלומר, שאינו שורש של אף משוואה אלגברית בעלת מקדמים רציונאליים.    

הקירוב העשרוני ל-e  מתחיל כך : ...e = 2.71828182845904523536 

תוכלו לצפות בקירוב של e עד מליון ספרות אחרי הנקודה.                                                                                                                                                                                                                                                           

Sample Image

המספר e, הוצג לראשונה ע"י נפייר ( Napier) כאשר פיתח לוחות לוגריתמים.    

אך e נקרא בשמו, לזכרו של המתמטיקאי הדגול אוילר 

(Euler) מהמאה ה-18, שחקר רבות מתכונותיו הנפלאות.

מתמטיקאים רבים חיפשו קשר בין שני המספרים המופלאים p ו-e.
אחד הקירובים המדויקים להיום שייך לאיטלקי מישל פאנלי (Fanelli) והוא: Sample Image
אוילר אף הצליח לנסח קשר עם מספר מופלא נוסף i, בנוסחה היפהפייה Sample Image.

e מופיע באופן מפתיע בהקשרים שונים ומגוונים במתמטיקה ויישומיה.

ניתן לפגוש אותו בכלכלה, פיסיקה, גיאומטריה, תורת המספרים, תורת ההסתברות ועוד.

מקורות: תבלינים מתמטיים- מחר 98, ספר המספרים- דייויד ויילס


סרטון משעשע על "פגישה עיוורת" בין המספרים e ו- π. (מתוך המלצות הגולשים):


הצעה לפעילות הכרות עם המספר e: 

בפעילות נחקור כמה מההופעות של המספר e בשלושה היבטים שונים:

    1. נוסחה של ריבית דה ריבית

    2. סכום של סידרה אינסופית 

    3. בסיס של פונקציה מעריכית- חקירה בעזרת כלים ממוחשבים.

הפעילות המוצעת היא לעבודה בכיתה בקבוצות (אפשר גם כשיעורי בית), בה כל קבוצה תגלה בעזרת דף העבודה את המספר המופלא e בדרך שונה. 

בסופה של החקירה תציג כל קבוצה בפני הכיתה כולה את המספר e שגילתה.

למתעניינים - עוד פיצוחים להעמקת ההכרות עם המספר e.


מקורות נוספים להרחבה והעמקה:

סיפורו של המספר e -מאמר מאת אלי מאור בעל"ה 20

 e בראש הטור -עופר ליבה סוקר את ספרו של אלי מאור בעל"ה 17

The Number e -  הצעה להכרות מקיפה עם המספר e בהופעותיו השונות.

Imagining a Hit Thriller With Number e   אם היו עושים סרט על המספר e...


דף עבודה 1

Sample Image

ריבית דה-ריבית 

ברצוננו להשקיע שקל אחד בהשקעה הטובה ביותר.

כל הבנקים נותנים אותה ריבית שנתית של 6% אבל בתנאים שונים.

בנק א:  משלם את הריבית כעבור שנה, כך שבסוף השנה נקבל ___________ שקלים.

בנק ב:  משלם 3% כל חצי שנה, כך שבסוף השנה נקבל ________________ שקלים.

בנק ג:  משלם 1.5% כל רבע שנה, כך שבסוף השנה נקבל ______________ שקלים.

באיזה בנק תעדיפו להשקיע את השקל היקר שלכם?

בנק ד הציע לשלם את הריבית כל חודש בחודשו. מה הסכום שתקבלו בסוף השנה? ________.

באופן כללי, אם נשקיע שקל אחד בבנק המשלם ריבית שנתית של p%  המחושבת n פעמים בשנה, נקבל בסוף השנה:
________.

נניח שבנק מסוים היה מוכן לתת לנו עבור השקל, ריבית של 100%, והיה מסכים לחשב את הריבית מספר גדול מאד של פעמים בשנה, האם הבנק היה פושט את הרגל? 

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי ?

מסקנה:   המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-__________


דף עבודה 2

סכום של סדרה אינסופית  

Sample Image

הפרדוקס של זנון
אצן שרץ מנקודת ההתחלה A לנקודת היעד- B, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו. 
לפני שיגיע לנקודה B הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין A לבין, B ולפני שיגיע מאמצע הדרך 
לנקודה הסופית ,B הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת האמצע לבין  Bוכך הלאה.

כלומר - הוא לעולם לא יוכל להגיע לנקודה B כי תמיד הוא יצטרך להגיע קודם לאמצע הדרך שבין 
נקודה B לבין הנקודה, שהוא נמצא בה 
זנון זרע את הרעיון של הגבול, הסכום האינסופי Sample Imageמתכנס לסכום סופי!

 

Sample Image

המספר e , על שם אויילר (Euler) שמצא שהוא הגבול של הסדרות הבאות: 

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי ?

מסקנה:     המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-___________.

התוכלו לחשב?
Sample Image

 


דף עבודה 3

בסיס של פונקציה מעריכית- חקירה בעזרת כלים ממוחשבים

1. שרטטו בעזרת המחשב (ראו נספח) פונקציות שונות מהמשפחה y= ax . 

Sample ImageSample Image

2. מצאו עבור כל פונקציה את שיפוע המשיק בנקודה בה x=0.

 

 

 

 

 

 מסקנה:

ככל שבסיס החזקה גדול יותר שיפוע המשיק בנקודה x=0 יותר__________.

 

 

Sample Image

נחפש פונקציה  y=ax, כזו ששיפוע המשיק שלה בנקודה בה x=0 הוא 1.

נסמן פונקציה זו :  ex

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי ?

 

 

 

 

מסקנה: המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-__________


נספח לשימוש בתוכנות מחשב לשרטוט גרפים

http://www.padowan.dk/graph- Graph 4.3:

תוכנה ידידותית לשרטוט וחקירה של גרפים. 

הוספת גרף חדש באמצעות הכפתור Sample Image  מקבלים תיבת שיחה בה ניתן לרשום את נוסחת הפונקציה, קנה המידה ועיצוב צבע ועובי הגרף. התוכנה מאפשרת למצוא נקודות חיתוך עם הצירים ועם פונקציות אחרות, למצוא נקודות קיצון לחשב נגזרות ואינטגרלים ועוד. 

למשימתנו נשרטט משיקים לפונקציה בעזרת הכפתור  Sample Image.

 http://www.geogebra.org/cms- GeoGebra

 

תוכנת מתמטיקה דינמית המאגדת גאומטריה, אלגברה ואנליזה. היא זכתה בפרסים בין-לאומיים כולל פרסי התוכנה החינוכית האירופי והגרמני. התוכנה ידידותית ונוחה ומלווה בתפריטים בעברית.

בשורת הקלט (למטה) רשמו את הפונקציה,  לדוגמה:   y = 2^x.

בכדי לשרטט את המשיק לפונקציה בחרו את הכפתורSample Image  סמנו את נקודת ההשקה ולאחריה את הפונקציה. 

הערה- ניתן להשתמש בפרמטרים באמצעות כפתור המחוון.  Sample Image

 

תוכלו למצוא סקירה מקיפה יותר על שתי התוכנות בעל"ה 39 במאמר :

"שלוש תוכנות מתמטיות, כלי עבודה למורה ולתלמיד" מאת שרה גרז'וטיס.

אפשרות נוספת לחקור את המשימה לפי היישומון האינטראקטיבי : The Number e


עוד פיצוחים להעמקת ההכרות עם המספר e

Sample Image

1. במסיבת סוף השנה נערכה הגרלה גדולה בה 100 כרטיסים. 

ההסתברות של כל אחד מהכרטיסים לזכות בפרס זהה.

א. מה ההסתברות שהכרטיס שלך לא יזכה?

ב. מה ההסתברות ששני כרטיסים לא יזכו?

ג. מה ההסתברות שעשרה כרטיסים לא יזכו? 

ד. מה ההסתברות ש-100 כרטיסים לא יזכו? 

    חשבו מהו ההופכי להסתברות זו?

ה. אם במסיבה נמכרו n כרטיסי הגרלה.

    למה שואפת ההסתברות שאף אחד מבין n הכרטיסים יזכה, כאשר n שואף לאינסוף.

 

Sample Image

2. במשחק הקלפים הידוע "מלחמה" (במלעיל) כל שחקן קיבל חבילת קלפים. בכל תור חושף השחקן קלף מראש החבילה שלו. 

מצב של "מלחמה" קורה כאשר לשני השחקנים יש קלף זהה בדיוק (למשל, לשניהם אס יהלום אדום)

מהי ההסתברות שלא יהיה מצב של מלחמה במהלך משחק שלם (עד לחשיפת כל 52 הקלפים) ?

 


על״ה
עלון למורי המתמטיקה


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 5club מועדון ה-5
קהילות מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל


 

 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit