עד קצה הגבול

עד קצה הגבול

תקצירעד קצה הגבולإلى أقصى الحدود

 

Sample Image

ארבעה חברים חובבי מתמטיקה כינו זה את זה בשמות מתמטיקאים מפורסמים. 
הארבעה התערבו מי יצליח לחשוב על פונקציה, בה מעורב המספר 100 ואשר תתן ערך גדול יותר עבור מספרים גדולים.
הראשון, המכונה נפייר, בחר פונקציה לוגריתמית:
 Sample Image
השני, המכונה ברנולי, בפונקציה מעריכית:  
Sample Image
השלישי, ארכימדס, החליט לבחור בחזקות של  100:
Sample Image
הרביעי, המכונה דה-מואבר, אוהב להיות מיוחד , בחר בפונקציה שהיא מכפלה:    
Sample Image

 

א. מי מהחברים לדעתכם בחר בפונקציה המקבלת ערכים גדולים יותר עבור ערכי x גדולים?
ב. התוכלו למצוא מאיזה ערך של x הפונקציה הזו אכן גדולה יותר?
ג. כיצד ישתנו הפונקציות אם נחליף את המספר 100 במיליון? ביליון?

 

 

Sample Image

 

 

כל דרדק יודע כי אין מספר הגדול ביותר, אך מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים. מספרים גדולים סקרנו את האדם עוד משחר ההיסטוריה ותיארו אותם "כחול על פני הים", "ככוכבים בשמיים". רבים מנסים לתת שמות למספרים גדולים: מיליון, ביליון, טריליון, גוגול ואפילו גוגולפלקס.
במאה ה-3 לפנה"ס המתמטיקאי ארכימדס ניסה להעריך את מספר גרגרי החול ביקום וטען כי המספר אינו עלה על 1063. מפורסמת גם האגדה ההודית על מספר ענק ובלתי נתפס של גרגרי האורז על לוח השחמט (ראו פיצוח). 
במדעי המחשב, בו יש חשיבות לכמת את מספר הצעדים הגדול הדרוש לפתרון בעיה באופן יעיל, מגדירים את מושג הסיבוכיות (פתרון יעיל כאשר הסיבוכיות של הזמן גדלה באופן פולינמיאלי ולא מעריכי למשל).

Sample Image

אשר- מתוך האתר הרשמי

משמעויות שונות למושג האינסוף (ויקיפדיה)  אשר משותף להן הוא תפיסת האינסוף כדבר מה גדול מעבר ליכולת ההבנה האנושית, דבר מה שתכולתו גדולה לאין שיעור, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. הסימן ¥, המסמל אינסוף, הוכנס לשימוש במאה ה-17 ע"י סטודנט אנגלי למתמטיקה וואליס. הוא סימן לייצוג מספרים גדולים מאד וייצוג למספרים קטנים מאד. (מתוך תבלינים מתמטייים)
קראו עוד על איך סופרים אינסוף ?- בארץ הדעת.
תערוכת אמנות על האינסוף. (אתר פירסומי)   

 

 

 

 

 


Sample Image

 Sample Image

 לפניכם זוג של פונקציות:

Sample Image   
((g(x) פונקציה מורכבת. 

א. התאימו לכל פונקציה את הגרף.
ב. במה דומות ובמה שונות הפונקציות הללו?
    היעזרו ביישום הדינאמי (גיאוגברה) ועקבו אחר נקודות שונות.
    התייחסו בתשובתכם לנקודות בעלות מאפיינים ייחודיים כמו נקודת קיצון, ונקודות פיתול. 
    תחומי עליה וירידה ולאסימפטוטות. נמקו.

ג. נתונה הפעם הפונקציה:

Sample Image
   שערו כיצד נראה גרף הפונקציה-
Sample Image
   תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי (גאוגברה) ורשמו בשורת הקלט למטה:
Sample Image
   האם הקשרים ששיערתם בסעיפים הקודמים מתקיימים גם לגבי הזוג החדש? נמקו.
   בדקו את השערתכם עבור פונקציות Sample Imageשונות.

ד. מצאו פונקציות נוספות שהרכבתן שומרת על התכונות שמצאתם.
ה. מצאו את הגבול של הביטויSample Imageכאשר Sample Imageוכאשר Sample Image.
    הנחיה - מצאו זוג פונקציות בדומה לסעיפים הקודמים , חקרו ושרטטו סקיצה לגרפים.

 

Sample Image

 

מושג הגבול, אשר מתאר תהליך של התכנסות לערך מסויים משהו שמתקרבים אליו, אך אף פעם לא מגיעים אליו, הוא מושג שימושי ובסיסי במתמטיקה המודרנית. אך כבר בימי יוון תהו המתמטיקאים והפילוסופים על מהותו. לדוגמה בפרדוקס המשעשע של זנון (וכן מצגת מאת G-math). במאה ה-3 לפני הספירה חשב ארכימדס את שטחו של המעגל בשיטת המיצוי, לפיה הוא קרב את שטח המעגל לשטח מצולע משוכלל החסום בתוכו. 
                                   
רעיונות אלו שוכללו ע"י ניוטון ולייבניץ כאשר פיתחו את החשבון האינפסיטמלי, ובהמשך ע"י קושי וויירשטראס, עם פיתוח החשבון הדיפרנציאלי.

קראו בהרחבה על מושג הגבול במילון המושגים: פונקציות.
פיצוחים הנוגעים לנושא: אני דומה לעצמיסדרה הנדסית מתכנסתיום פאי שמח

 

 

 

 

 

 

 


 

 Sample Image

א. התבוננו בגרפים של הפונקציה המעריכית והלוגריתמית. עקבו אחר הערכים והשלימו:
    ניתן לעקוב אחר הערכים ביישום הדינאמי.

 

Sample Image

Sample Image

Sample Image

 

ב. השלימו על פי הגבולות שמצאתם לעיל:  

Sample Image

 

Sample Image

חקרו את הפונקציות הבאות לפי:
1. תחום הגדרה והתנהגות הפונקציה סביב נקודות אי ההגדרה.
2. נקודות חיתוך עם הצירים
3. התנהגות הפונקציה כאשר  Sample Imageוכאשר Sample Image

 

Sample Image

 

והתאימו להן את הגרפים:

Sample Image

Sample Image

הפעילות נערכה על פי הרעיון במאמר : יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98


 

מקורות נוספים להעמקה והרחבה:

הפוך על הפוך - פיצוח בנושא פונקציות הפוכות

גישה אינטואיטיבית לבניית מושג הגבול - תמר זמיר ונצה מובשוביץ- הדר, קשר ח"ם.

יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98

זוגות של פונקציות - מחר 98

אסימפטוטות המקבילות לציר ה-x  -  יפים כץ, על"ה 31

חדו"את היצירה - עופר ליבה- על"ה 23, על"ה 24

מספרים גדולים בעולם- פעילות של מרכז המורים למתמטיקה בחינוך היסודי

האינסוף המיסתורי - פרוייקט לתלמידים - מחר 98

אינסוף- הסיפור שאינו נגמר, סקירה על ספרו של פרופ' חיים שפירא, על"ה  15

האפס- ביוגרפיה של רעיון מסוכן - צ'רלס זייף - המלצה על הספר

הצעה להוכחת המשפט: גבול של שורש n י של n כאשר n שואף לאינסוף הוא 1 - עלי עותמאן, על"ה 36

 

 

 

על״ה
עלון למורי המתמטיקה


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 5club מועדון ה-5
קהילות מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל


 

 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit