האורים והתומים של הלוגריתמים

תקציר |  לוגריתמים |  בערבית

נאפייר (1552-1632) היה מתמטיקאי חובב מסקוטלנד אשר חיפש דרכים לבצע חישובים מורכבים ועם מספרים גדולים בצורה פשוטה. 

אחד התחומים שעניינו במיוחד את נאפייר היתה האסטרונומיה, אך המחשבה על החישובים האינסופיים הנדרשים מאסטרונומים גרמה לו לאנחות. לאחר 20 שנות לימוד וניסויים, הציג נאפייר את השימוש בלוגריתמים - פריצת דרך שלא תאמן בפישוט החישוב. תגלית זו התקבלה בכל רחבי העולם בתרועה ובהסכמה, לא רק על ידי אסטרונומים, אלא גם על ידי אנשים שחישובים מגושמים הכבידו עליהם. לוגריתמים, העיקרון שעליו מבוסס סרגל החישוב, ביטלו למעשה את הצורך בכפל וחילוק ואפשרו להסתפק בחיבור וחיסור.

מקור- גלים

נאפייר גילה כי קיים קשר בין שתי סדרות מוכרות היטב: הסדרה ההנדסית והסדרה החשבונית.
הוא גילה שניתן לכתוב סדרה אחת באמצעות השנייה דבר שסייע לו לבצע במהירות חישוב של תרגילי כפל של מספרים גדולים.

 1. נתבונן בשתי הסדרות הבאות:

א. בחרו שני מספרים מהסדרה ההנדסית והכפילו אותם. לדוגמה: 8x32 = 256
    סכמו את המספרים המתאימים בסדרה החשבונית. 3+5 = 8
    מה תוכלו לומר על הקשר בין התוצאות?
ב. נסו שוב להכפיל זוג מספרים אחר מהסדרה ההנדסית. האם גם הפעם זה עבד?
ג. המשיכו את שתי הסדרות וכפלו בדרך המהירה של נאפייר. חשבו 256*1024.
ד. חשבו באמצעות הטבלה, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8 ו- 32?
ה. חשבו במהירות, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8, 32, 128, 512?
ו. כיצד נוכל לחשב תרגילי חילוק במהירות? 1024:128=?

ז. רשמו את הקשרים שמצאתם בטבלה בעזרת לוגריתמים.
    למשל:

ח. נסחו כלל לסכום של שני לוגריתמים בבסיס 2. באופן דומה נסחו כלל לחיסור.

2. נתבונן בטבלה הבאה של לוגריתמים בבסיס עשר. שימו לב כי הסדרה החשבונית הורחבה.

א. בדקו האם התכונות שמצאתם בסעיף הקודם מתקיימות גם עבור הסדרות הללו.
ב. מקובל להשמיט את הבסיס 10 בכתיבת לוגריתמים בבסיס 10.
חשבו לפי הטבלה:

ג. בטבלה הבאה שונתה הסדרה החשבונית. השלימו את הטבלה עבור הסדרה ההנדסית.

 ד. חשבו לפי הטבלה ולפי החוקים שמצאתם:

ה. נאפייר ועמיתיו מצאו דרך לקשר ביו סדרות חשבוניות וגאומטריות, ובנו טבלאות לוגריתמיים לשם הקלה בחישובים.
נסחו את הקשר בין הסדרה ההנדסית לסדרה החשבונית.
האם מתקיים קשר זה בכל שתי סדרות חשבוניות והנדסיות?

מקורות נוספים:
סרגל לוגריתמי - פעילות של NCTM
The Oughtred Society - אגודה של אספני סרגלי חישוב, הסבר על פעולתם ועל ההיסטוריה שלהם.
Slide Rules and Logarithm Tables - Mathematical intention 

פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?

סולם ריכטר - פותח ב 1935 ע"י מדען אמריקאי ששמו צ'ארלס ריכטר. ריכטר פיתח מודל מתמטי להשוואה בין עוצמות של רעידות אדמה. סולם זה מציג ערך כמותי ומודד את העוצמה של רעידת האדמה לפי כמות האנרגיה שהשתחררה לפי גודל התנודות שנרשמו ושנקלטו ע"י הסיסמוגרף. מדובר על סולם מדידה לוגריתמי וכל דרגה בו מעידה על עוצמה חזקה פי 10 מקודמתה. 
דרגות 4 - 1 - רעשים קלים כמעט לא מורגשים;
דרגות 8 - 5 - רעשים מסוכנים עד הרסניים;
דרגות 12 - 9 - הרסניים ביותר.

לסולם ריכטר אין ערך עליון. בצ'ילה בשנת 1960 היתה רעידת אדמה החזקה ביותר שידועה עד כה בעוצמה 9.5 בסולם ריכטר. סדר הגודל של רעידת האדמה (R) הוא פונקציה של עוצמתה (I) והעוצמה המינימלית

1. נחשב את העוצמה של רעידת האדמה באילת אשר נמדדה 4.5 בסולם ריכטר.
    
   חשבו באופן דומה את עוצמת רעידת האדמה בהאיטי אשר נמדדה 7 בסולם ריכטר.
   פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?
2. בשנת 1837 אירעה בארץ רעידת אדמה, שנמדדה 6 בסולם ריכטר, אשר הרסה את צפת וטבריה וגרמה להרוגים רבים והרס רב.
   חשבו פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה בצפת ובטבריה?
3. ידוע שרעידת אדמה מלווה ברעידות אדמה עוקבות. לאחר הרעש בהאיטי התרחשה רעידה נוספת שהייתה קטנה בעוצמתה פי 100 מהרעידה המקורית. באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו? ולאחריה רעידה נוספת שהייתה קטנה פי 3160 לערך? באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו?
   
   

1. האם יתכן ש- 2>3?
   
   
   
2. טעות בספר?
   פתרתי את המשוואה באופן הבא:

הסתכלתי בפתרונות הספר, אך להפתעתי מצאתי שם ארבעה פתרונות:

תוכלו לעזור לי לדעת מי צודק?

מקור - תבלינים מתמטיים, לעשות מתמטיקה - הטכניון.

פעילויות נוספות בנושא הלוגריתמים:

• החיפוש אחר המספר המופלא e
• הפוך על הפוך
• logaⁿ=n loga לא נכון (לא תמיד נכון) - אריה רוקח, על"ה 14.

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות

תקציר| יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות | פתרונות | مخلوقات عجيبة تتعلم حل معادلات

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים:
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם יחד 
הם נקראים "זוג האפס".

בפיצוח קודם, בארץ יצורי הפרא המתמטיים, חיברנו וחיסרנו מספרים חיוביים ושליליים, בעזרת היצורים הללו, יצורי היחידה.

יצורי הפרא הזמינו לארצם שני יצורים נוספים, יצורי x, אשר יסייעו להם לפתור משוואות. 
גם שני יצורי ה- x הללו ביחד הם "זוג האפס".

כל יצורי הפרא יחדיו מצליחים להציג משוואות ואפילו לפתור אותן. 
בכדי להציג את המשוואה, הם מסתדרים בשני אגפים. 
בכדי לשמור על השוויון, כל פעולה שהם מבצעים נעשית על שני האגפים.

1. יצורי הפרא המתמטיים התבקשו לפתור את המשוואה:

הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.  

 פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 1.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

2. לאור הצלחתם של יצורי הפרא, הם התבקשו לפתור משוואות נוספות, שקל לפתור אותם, אם הם יתחלקו לקבוצות שוות בשני אגפי המשוואה:

 פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 2.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.  

3. הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה קצת יותר מורכבת.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

 פתרו גם אתם משוואות מורכבות דומות כמו יצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 3.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

 4. יצורי הפרא נתקלו במשוואות בהן קיים ביטוי של x משני צידי המשוואה. 
     לשם כך הם גייסו את היצור -x, בכדי לכנס את כל הביטויים עם x בצד אחד של המשוואה, 
     ולהגיע למשוואה שהם כבר יודעים לפתור. 
     הנה שוב יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

 פתרו גם אתם משוואות בהן יש ביטוי של x משני צידי המשוואה, בדף העבודה משוואות 4.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

5. הציעו ליצורי הפרא דרכים שונות לפתור את המשוואה הבאה:    6-= 3(x+2)

מקורות: 

• Let's Do Algebra Tiles  - מצגת
• יישום אינטראקטיבי לפתרון משוואות במודל המלבנים. 
• יישום אינטראקטיבי  נוסף לפתרון משוואות במודל המאזניים והמלבנים מאת (National Library of Virtual Manipulatives Utah State University).
• Using Homemade Algebra Tiles to Develop Algebra and Prealgebra Concepts, Kitts, N, MATHEMATICS TEACHER, 2000.

ביליארד מתמטי

תקציר | ביליארד מתמטי | פתרונות | בערבית

תמר והדר המציאו משחק חדש בהשראת שולחן הביליארד.
כללי המשחק: 

• המשחק נערך על שולחן מלבני מנייר משובץ.
  ארבע הפינות מסומנות ב- A, B, C, D.
• הכדור הדמיוני יוצא מקודקוד A, ונזרק בזווית של 45^o.
  אם הכדור פוגע בדפנות השולחן הוא ממשיך במסלולו שוב בזווית של 45^o לדופן השולחן.
• הכדור נעצר כאשר הוא מגיע לאחת מפינות השולחן.
• ניתן לשנות את מימדי השולחן.
  
  

1. צפו במשחקון בשולחן 3X5. 
א. באיזו פינה עצר הכדור?
ב. בכמה פגיעות בשולחן הגיע למטרתו?
    (כולל הפגיעות של ההתחלה ושל הסיום).

תוכלו להתנסות במשחק האינטראקטיבי (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום),  או בעזרת עפרון ונייר, בשולחנות הבאים:

*שימו לה המשחק האינטראקטיבי נתמך java ולכן אינו עובד בדפדפן Chrom.

תמר והדר שיחקו בכל השולחנות הללו ושאלו שאלות מעניינות.

2. האם ישנם שולחנות דומים?
א. תמר שמה לב כי הכדורים בשולחנות 1x2 , 2x4 מתנהגים באופן דומה. הסבירו.
    התוכלו למצוא שולחן נוסף מסוג זה? תוכלו להיעזר במשחק האינטראקטיבי.
ב. הדר טענה שיש בקבוצה זוג אחר של שולחנות דומים. התוכלו לומר מיהם?
    האם יש קשר בין מימדי השולחנות שמצאתם? אם כן מהו?
ג. תנו דוגמה לשולחנות נוספים בעלי התנהגות דומה. בדקו במשחק האינטראקטיבי.

3. האם ניתן לדעת מראש את מספר הפגיעות (כולל ההתחלה והסיום) עד שיגיע הכדור לעצירה?
א. מהו השולחן בעל מספר הפגיעות הקטן ביותר?
    התוכלו לדעת מהו השולחן בעל מספר הפגיעות הגדול ביותר?
ב. הדר מצאה שני שולחנות שונים שבהם מספר הפגיעות (כולל ההתחלה והסיום) הוא 5. מיהם?
ג. תמר סברה כי גם בשולחן 1x4 מספר הפגיעות הוא 5. האמנם?
    האם יש קשר בין מימדי השולחנות שמצאתם ומספר הפגיעות? אם כן מהו?
ד. הדר ביקשה לבדוק האם החוקיות שמצאה אכן עובדת גם במקרים נוספים.
    היא חיפשה שולחנות בהם מספר הפגיעות הוא 7.
    מצאו, בעזרת המשחק האינטרקטיבי, שולחנות נוספים שבהם מספר הפגיעות הוא 7. (hits=7)
    בדקו האם הקשר שמצאתם בין מימדי השולחנות ומספר הפגיעות אכן עובד.

ה. תמר מצאה כי גם בשולחן במימדים של 6x8 מספר הפגיעות הוא 7. הכיצד?
    האם יש צורך לנסח מחדש את החוקיות?
ו. אם ברשותכם שולחן דמיוני של 150x300, התוכלו לדעת מראש מה יהיה מספר הפגיעות?

שחקני הביליארד המקצוענים יודעים כי מהלך מוצלח דורש תכנון מפורט של מסלול הכדורים מבחינה גיאומטרית ופיסיקלית, כמו גם ביצוע מדויק להפליא. 
בולצמן, מענקי הפיסיקה של המאה ה- 19, טען שהתנהגות מולקולות גז בקופסה דומה להתנהגות כדורי הביליארד ולפיה בנה את הבסיס לתורת המכניקה הסטטיסטית, שמהווה אחת מאבני היסוד של הפיזיקה המודרנית. בעקבותיו, במאה ה- 20, התפתחה תיאוריה מתמטית החוקרת את מסלולי הכדורים בביליארד כמערכת דינמית הנשלטת על ידי חוקי התנועה של ניוטון, ואיך האקראיות לכאורה קשורה לתורת הכאוס. קראו עוד על החוקרת בתחום במכון וייצמן, פרופ' ורד רום-קידר.

המתמטיקאים חוקרים מסלולי הכדור גם בשולחנות שאינם מלבניים כמו משולש, אליפסה או תיבה.
קראו עוד ב- Math World

4. האם ניתן לדעת מראש באיזו פינה הכדור יעצור?
הדר ותמר הביאו את המשחק לכיתה.
בכדי לשכלל את המשחק, הן הוסיפו ניקוד לכל משחקון לפי הניקוד הבא:

• כדור שיעצר בפינה A - 100 נקודות
• כדור שיעצר בפינה B - 50 נקודות
• כדור שיעצר בפינה C - 25 נקודות
• כדור שיעצר בפינה D - 10 נקודות

א. באפשרותכם לבחור את גודל השולחן למשחקון. באיזה שולחן תבחרו בכדי לקבל ניקוד הכי גבוה?
ב. אם ברשותכם שולחן דמיוני של 150x300, התוכלו לדעת מראש בכמה ניקוד תזכו?

לשם חקירת החוקיות, תוכלו לרכז את תוצאות המשחקונים בטבלה הבאה:

שאלות חקירה נוספות:

• האם קיים קשר בין אורך המסלול הכדור עד לעצירתו לבין מימדי השולחן?
• אילו סוגי סימטריה ניתן למצוא במסלול הכדור בשולחנות השונים?
  לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה שיקופית לקו אנכי?
  לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה שיקופית לקו אופקי?
  לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה סיבובית?
• העלו גם אתם שאלות נוספות לחקירה של שולחנות הביליארד.

מקור הפעילות - Paper Pool: Analyzing Numeric and Geometric Patterns - NCTM, illuminations

עד קצה הגבול

תקציר| עד קצה הגבול| إلى أقصى الحدود

ארבעה חברים חובבי מתמטיקה כינו זה את זה בשמות מתמטיקאים מפורסמים. 
הארבעה התערבו מי יצליח לחשוב על פונקציה, בה מעורב המספר 100 ואשר תתן ערך גדול יותר עבור מספרים גדולים.
הראשון, המכונה נפייר, בחר פונקציה לוגריתמית:
 
השני, המכונה ברנולי, בפונקציה מעריכית:  

השלישי, ארכימדס, החליט לבחור בחזקות של  100:

הרביעי, המכונה דה-מואבר, אוהב להיות מיוחד , בחר בפונקציה שהיא מכפלה:    

א. מי מהחברים לדעתכם בחר בפונקציה המקבלת ערכים גדולים יותר עבור ערכי x גדולים?
ב. התוכלו למצוא מאיזה ערך של x הפונקציה הזו אכן גדולה יותר?
ג. כיצד ישתנו הפונקציות אם נחליף את המספר 100 במיליון? ביליון?

אשר- מתוך האתר הרשמי

 לפניכם זוג של פונקציות:

   
((g(x) פונקציה מורכבת. 

א. התאימו לכל פונקציה את הגרף.
ב. במה דומות ובמה שונות הפונקציות הללו?
    היעזרו ביישום הדינאמי (גיאוגברה) ועקבו אחר נקודות שונות.
    התייחסו בתשובתכם לנקודות בעלות מאפיינים ייחודיים כמו נקודת קיצון, ונקודות פיתול. 
    תחומי עליה וירידה ולאסימפטוטות. נמקו.

ג. נתונה הפעם הפונקציה:

   שערו כיצד נראה גרף הפונקציה-

   תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי (גאוגברה) ורשמו בשורת הקלט למטה:

   האם הקשרים ששיערתם בסעיפים הקודמים מתקיימים גם לגבי הזוג החדש? נמקו.
   בדקו את השערתכם עבור פונקציות שונות.

ד. מצאו פונקציות נוספות שהרכבתן שומרת על התכונות שמצאתם.
ה. מצאו את הגבול של הביטויכאשר וכאשר .
    הנחיה - מצאו זוג פונקציות בדומה לסעיפים הקודמים , חקרו ושרטטו סקיצה לגרפים.

א. התבוננו בגרפים של הפונקציה המעריכית והלוגריתמית. עקבו אחר הערכים והשלימו:
    ניתן לעקוב אחר הערכים ביישום הדינאמי.

ב. השלימו על פי הגבולות שמצאתם לעיל:  

חקרו את הפונקציות הבאות לפי:
1. תחום הגדרה והתנהגות הפונקציה סביב נקודות אי ההגדרה.
2. נקודות חיתוך עם הצירים
3. התנהגות הפונקציה כאשר  וכאשר 

והתאימו להן את הגרפים:

הפעילות נערכה על פי הרעיון במאמר : יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98

מקורות נוספים להעמקה והרחבה:

הפוך על הפוך - פיצוח בנושא פונקציות הפוכות

גישה אינטואיטיבית לבניית מושג הגבול - תמר זמיר ונצה מובשוביץ- הדר, קשר ח"ם.

יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98

זוגות של פונקציות - מחר 98

אסימפטוטות המקבילות לציר ה-x  -  יפים כץ, על"ה 31

חדו"את היצירה - עופר ליבה- על"ה 23, על"ה 24

מספרים גדולים בעולם- פעילות של מרכז המורים למתמטיקה בחינוך היסודי

האינסוף המיסתורי - פרוייקט לתלמידים - מחר 98

אינסוף- הסיפור שאינו נגמר, סקירה על ספרו של פרופ' חיים שפירא, על"ה  15

האפס- ביוגרפיה של רעיון מסוכן - צ'רלס זייף - המלצה על הספר

הצעה להוכחת המשפט: גבול של שורש n י של n כאשר n שואף לאינסוף הוא 1 - עלי עותמאן, על"ה 36

א. הגופים המשוכללים

תקציר | האם הכדורגל הוא עגול?|  בערבית

ראשית נכיר את חמשת הגופים המשוכללים, הידועים כגופים האפלטונים:

מתוך ויקיפדיה

מה מייחד את הגופים המשוכללים?

1. כל הפאות בגוף חופפות.
2. בכל קודקוד נפגשים אותו מספר של פאות.

צפו בסרטון חמשת הגופים המשוכללים מאת numberphile.
הכירו את הגופים ושאלו את עצמכם מדוע קיימים אך ורק חמישה גופים משוכללים?

בפעילות האינטראקטיבית הבאה תוכלו לצפות באנימציה תלת מרחבית של חמשת הגופים ולסובב אותם בעצמכם. ניתן גם לסמן את הפאות ולספור אותן (F-faces), את הקודקודים (V-vertices) ואת המקצועות (E-Edges).
באפשרותכם גם להדפיס את הפריסות ולבנות את הגופים.

השלימו את הטבלה האינטראקטיבית ובדקו תשובותכם.

מצאו קשרים אפשריים בין מספר הפאות (F) , מספר הקודקודים (V) ומספר המקצועות (E).

מקורות נוספים:
בנה בעצמך גופים משוכללים (בעזרת קיפול וללא דבק), שמואל אביטל, קשר חם.
למה קיימים רק 5 פאונים משוכללים? כיתהפיתה
אוילר וגאוס ביצירתם ובחייהם - אלה שמוקלר, קשר ח"ם

 המשך לחלק ב' - מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?