תקציר |  עגור השלום | פתרונות 

אוריגאמי היא אמנות קיפולי הנייר שהומצאה ביפן. לאמנות האוריגמי משמעות תרבותית עמוקה בתרבות היפנית והיא משמשת בטקסים שונים בדת השינטו, הנפוצה ביפן. לאחר פתיחת גבולותיה של יפן למערב בסוף המאה ה-19 התפשטה אמנות האוריגמי לעולם כולו והפכה לחלק מתרבות הפנאי ולשדה מחקר מתמטי מדעי. המחקר בנושא חשף את המורכבות הרבה האפשרית בקיפולי נייר, ויצר פתח לניצול מורכבות זו בחידושים טכנולוגיים וננוטכנולוגיים שונים. (מתוך ויקיפדיה)
העגור, the crane, היא הצורה השכיחה והמוכרת ביותר ומסמלת עבור היפנים בריאות, מזל אושר ושלום. האגדה היפנית מספרת שאם מקפלים 1000 עגורי נייר, הם יגנו עליך מפני כל צרה ומחלה ויגשימו משאלותיך. קיפול העגור התפרסם כסמל לשלום עולמי בעקבות סיפורה המרגש של סודאקו, הילדה שחלתה לאחר ההפצצה בהירושימה. בזמן שקיפלה את עגורי הנייר אמרה סדאקו: "אכתוב על כנפיכם מסר שלום, ואתם תעופו ותפיצו את המסר מסביב לעולם".
לזכרה, ולזכר קורבנות הפצצה, בכל יום ה- 6 באוגוסט נוהגים להפריח את "עגורי השלום".

איך לקפל את עגור השלום?
הוראות באנימציה תלת מימדית, שלב אחר שלב.
סרט וידאו בעברית: בגלרית הסרטונים באתר המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי.
הוראות קיפול עגור השלום.

משימה 1

שימו לב לצורות הגיאומטריות המתקבלות במהלך הקיפול.
התוכלו למצוא דלתונים? מעויינים? משולשים שווי צלעות? ועוד. הוכיחו את טענותיכם.

המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי מפעיל זה מספר שנים את "פרויקט השלום". תלמידיו הרבים קיפלו "1000 עגורים" שנמסרו, כברכת החלמה, לחוסיין מלך ירדן. בביקורו בישראל קיבל האפיפיור יוחנן פאולס השני "1000 עגורים" שנמסרו לו על-ידי שלושה ילדים, יהודי, נוצרי ומוסלמי, כמחווה של שלום בין הדתות. בביקורו בישראל קבל גם הדלהי למה, המנהיג הרוחני של טיבט, עגורי שלום. כיום עוסק המרכז בפרויקט החלפת 1000 עגורי שלום בין בתי הספר כמחווה של הבנה בין בתי-ספר חילוניים, דתיים, ישראלים ופלשתינאים.

משימה 2
אם נפתח בזהירות את קיפול הנייר של העגור נקבל את הפרישה הבאה:

פרט לצורות הגיאומטריות הרבות שניתן להבחין בפרישה ולחקור אותן נשאל את עצמנו כמה שאלות הנוגעות לתחום "האוריגאמי השטוח":

א. נצבע את "עגור השלום"

1. צבעו כל מצולע בפריסה בצבע שונה מהמצולע השכן לו, כך שאף שני איזורים סמוכים יהיו באותו צבע (בדומה לצביעת מפות). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע את העגור?
2. אם נקפל את העגור הצבוע שוב כיצד תראה הצביעה?
   האם מסקנותיך יהיו נכונות לכל קיפולי הנייר של האוריגאמי?

ב. נתבונן בקודקודים

1. כמה קפלים נפגשים בקודקוד אחד? הייתכן מספר אי זוגי של קפלים?
2. הבחינו בין קפלי "הר" לקפלי "בקעה": התוכלו למצוא מה הקשר בין מספרי קפלי ההר וקפלי הבקעה בכל קודקוד?
3. סכום הזוויות סביב קודקוד מסויים הוא כמובן 360°. אם נמספר את הזוויות סביב קודקוד מסויים, התוכלו למצוא מהו סכום הזוויות האי זוגיות? מהו סכום הזוויות הזוגיות?

מקור: Project Origami: Activities for Exploring Mathematics By Thomas Hull

תקציר| צפייה בסרטים בעין מתמטית

1. אבוט וקוסטלו בחיל הים

שני הקומיקאים האמריקאים אבוט וקוסטלו הם הדמויות המרכזיות בסרט 
(In the Navy 1941). בסרט קוסטלו מקבל על עצמו משימה: 
לאפות 13 סופגניות לכל אחד משבעה קצינים המשרתים באוניה. 
קוסטלו מכין 28 סופגניות בטענה כי:
                                   7x13 = 28
הוא גם "מוכיח" את טענתו בשלוש דרכים שונות.

דרך א:
כופלים 7 ב- 3 ומקבלים 21. 
כופלים 7 ב-1 ומקבלים 7.
מחברים שתי התוצאות ומקבלים 28. 

דרך ב:
מחלקים 28  ב- 7 מקבלים 13.
2 אינו מתחלק ב-7, 
לכן מחלקים 8 ב- 7. 
7 "נכנס" ב- 8 פעם אחת. רושמים 1 במנה.
מחסרים 7 מ-28, מקבלים 21.
7 "נכנס" ב-21 שלוש פעמים.  רושמים 3 מימין ל- 1.
קיבלנו 13.

דרך ג:
בודקים את פעולת הכפל בעזרת פעולת החיבור.
רושמים את 13 שבע פעמים ומחברים.
מחברים שבע פעמים את ה-"3", מקבלים 21 . מחברים את שבעה ה-"1" ומקבלים 7. 
מחברים את שתי התוצאות. קיבלנו 28.

משימה:
א. הסבירו (באופן מתמטי), למה כל שלוש השיטות של קוסטלו אינן מניבות תוצאות נכונות.
ב. נסו לחבר תרגילים נוספים המדגימים את השיטות הייחודיות של קוסטלו. 
ג. רשמו תהליך הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי לפי שיטת קוסטלו, בצורה של:

ד. ביצעו פעולת הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי בצורה אלגברית נכונה: 

ה. השוו בין שתי התוצאות. האם יתכן ששתי התוצאות תהינה שוות? אם כן, מהם התנאים שעבורם 
"המתמטיקה" של קוסטלו "עובדת"? 

תוכלו להשתעשע עוד בדיאלוגים מתמטיים בין אבוט וקוסטלו במאמרו של יוחנן אחיטוב: 
"מתמטיקה מהסרטים הדיאלוגים של אבוט וקוסטלו" (על"ה 32)

2. הסרט קונטקט ( 1997,Contact)  

סרט דרמה, מדע בדיוני ומתח לפי ספרו של קארל סייגון, איש של מדע הפופולרי.
ד"ר אלינור ארוואיי (שחקנית ג'ודי פוסטר) מאזינה ל"קולות" מחוץ לכדור הארץ.
האם השידורים מכילים צופן מתמטי? 
האיתות שמגיע ממערכת בשם VEGA מכיל מספרים ראשוניים! הרי זה סימן לחיים מחוץ לכדור הארץ!

___________________________
מהו מספר ראשוני?
מספר שלם הגדול מ-1 נקרא בשם מספר ראשוני,
אם ורק אם הוא מתחלק ב-1 ובעצמו.
___________________________

המשימות:

1. השלימו את הרשימה של עשרת המספרים הראשוניים הראשונים:
             __ ,  __, __ , __ , __ , __, 7 , 5 , 3 , 2 

2. כיצד נמצא מספרים ראשוניים?
המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס המציא שיטה למציאת מספרים ראשוניים, לה קוראים עד היום הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס. הנפה מסננת מתוכה את המספרים הפריקים ומותירה בתוכה את המספרים הראשוניים בלבד.

לפניכם נפת המספרים, בכדי לסנן את המספרים הראשוניים פעלו לפי ההוראות הבאות:

א. מחקו את המספר 1 (כי אינו ראשוני)

ב. הקיפו בעיגול את המספר 2 ומחקו את כל המספרים האחרים שנמצאים בעמודות מתחת
ל- 2, 4 ו- 6. כיצד תוכלו לאפיין את המספרים שמחקתם?

ג. הקיפו את המספר 3 ומחקו כל מספר שלישי.

ד. הקיפו את המספר 5 ומחקו את כל הכפולות של 5.

ה. הקיפו את המספר 7 ומחקו את כל הכפולות של 7.

ו. הקיפו את המספר הלא מחוק הבא (אחרי 7) ומחקו את כל הכפולות של מספר זה.

המשיכו בתהליך ההקפה והמחיקה.

כל המספרים המוקפים בנפה הם מספרים ראשוניים. התוכלו להסביר מדוע?

3. כמה מספרים ראשוניים נמצאים בין 1 ל-100?

4. המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע שכל מספר טבעי (לא ראשוני) ניתן לתאר כמכפלה של גורמים ראשוניים באופן אחד ויחיד.
לדוגמה: 
רשמו את המספרים 48 ו- 91 כמכפלה של גורמים ראשוניים.

5. ראשוניים-תאומים הם זוג מספרים ראשוניים הנבדלים ב-2. לדוגמה: 3 ו-5.
מצאו שלושה זוגות נוספים של ראשוניים-תאומים.

6. המתמטיקאית הצרפתיה סופיה ג'רמיין (1776-1831) גילתה את קשר בין מספרים ראשוניים אחדים.
מספר ראשוני p נקרא "ראשוני של ג'רמיין" אם גם המספר 2p+1 גם ראשוני. מצאו חמישה מספרים ראשונים כאלה.

אֶרַטוֹסתֶנֶס                    המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס שחי במאה השלישית לפנה"ס, היה ספרן ה'מוזיאון'- בית המדרש הגדול באלכסנדריה שבמצריים.  ארטוסתנס נחשב כאחד המשכילים בעולם העתיק - הוא התעניין רבות במדעי היקום: גיאוגרפיה,אסטרונומיה,  פילוסופיה, היסטוריה, ספרות ומתמטיקה. הוא גילה שיטה למציאת מספרים ראשוניים. אֶרַטוֹסתֶנֶס רשם שורה של מספרים טבעיים ומחק ממנה כל מספר שני הגדול מ-2,  כל מספר שלישי הגדול מ-3, כל מספר חמישי הגדול מ-5 וכך הלאה. המספרים הלא מחוקים  הם המספרים הראשוניים. בזמנו של אֶרַטוֹסתֶנֶס כתבו על הלוחות מחמר או משעווה, ובמקום מחיקת המספר היו נוהגים לְנַקּב  בעזרת מכשיר חד את המקום שבו היה כתוב המספר. אחרי פעולה זו הלוח היה מחורר ונראה כנפה (מסננת). מכאן השם "הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס".

קישורים למאמרים בנושא:
שתי דרכים לניפוי המספרים הראשוניים -"שבבים",  תיק מס' 15, 1981 
נפת ארתוסטנס בשישה טורים- קשר ח"ם
נפות ארתוסטנס- גלים- מציאת תכונות שונות של המספרים הראשוניים מתוך מפות ארתוסטנס.
כיצד ננפה את המספרים הראשוניים?- אביטל, גליונות לחשבון מס 34 שיטות נוספות לניפוי המספרים הראשוניים.

אוסף אתרים בנושא מוטיבים מתמטיים בסרטים

תקציר| היקף כדור הארץ| פתרונות לשאלות הרחבה| مشروع عالمي لقياس محيط الكرة الارضية

רקע על הפרוייקט

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם

שאלות הרחבה

קישורים

הוא ידע שצורתו של העולם היא צורת כדור. (קראו עוד על איך ידעו שהארץ היא כדור?)

רוב חייו של אֶרַטוֹסתֶנֶס עברו באלכסנדריה שם היה ספרן ראשי במוזיאון המדע והאומנות ושמש מורה לבנו של תלמי המלך. הוא הופתע לקרוא בספרייה הגדולה של אלכסנדריה, כי בעיר המצרית סיינה (היום אסוואן) ישנה באר עמוקה, בה פעמיים בשנה, בשעת צהרי ימי השוויון (הימים בהם היום והלילה  שווים באורכם), ניתן לראות את השתקפות השמש במלואה ללא כל  צל.

הוא הסיק שבשעה זו השמש מכה ישירות אנכית, כלומר השמש נמצאת מעל בדיוק במרכז השמיים, בזניט. הוא ידע שבאותה שעה ממש השמש באלכסנדריה כן יוצרת צל. השמש מספיק רחוקה לכן הניח שקרני השמש מקבילות והעולם עגול הוא החליט לערוך מדידות. 
הוא חיכה לאותו יום מיוחד, יום השוויון בו הקיץ הופך לחורף בכדי לבדוק את מקום השמש בעיר 
מגוריו, אלכסנדריה ומכאן להסיק על היקף כדור הארץ.

הוא העמיד באלכסנדריה עמוד אנכי ומדד את הזווית של הצל שהטיל העמוד בדיוק באותו זמן שבו עמוד בסיינה לא הטיל כל צל.
הוא מצא כי הזווית של הצל שנוצר היא  ממעגל שלם (כ-7 מעלות). 
אֶרַטוֹסתֶנֶס ידע מגיאומטריה שגודל זווית הצל שמדד שווה לזווית המרכזית של כדה"א בין סיינה לאלכסנדריה. (מדוע?)
אם מניחים שאלכסנדריה ניצבת במדויק מצפון לאסואן, נובע מן המדידות האלה כי המרחק מסיינה לאלכסנדריה הוא  מהיקפו של כדור הארץ (במעגל העובר דרך מרכז הכדור, ודרך אסואן ואלכסנדריה).

אֶרַטוֹסתֶנֶס שלח שליחים כדי למדוד את המרחק בין סיינה לאלכסנדריה ומצא שהוא 5000 סטאדיות (סטאדיה היא מידה עתיקה בה השתמשו היוונים). הוא הכפיל מרחק זה ב-50 בכדי למצוא את היקף כדור הארץ. הערכתו הייתה 250,000 סטאדיות (שהן כ- 46,250 ק"מ). הערכתו די קרובה להערכות המודרניות למרות שלא השתמש בכלים מורכבים ומודרניים ושנים רבות נעזרו בה ככלי חשוב.

 

 

אֶרַטוֹסתֶנֶס השתמש למעשה בנוסחה:

d=   המרחק בין סיינה לאלכסנדריה
A= ע 360 מעלות בהנחה שכדור הארץ עגול
a=   זווית הצל שיוצר מקל אנכי
D=   היקף כדור הארץ

 

הידעתם ? יחידת המטר נקבעה באופן שרירותי בתקופת המהפכה הצרפתית.  היא נקבעה כחלק העשרה מיליון של המרחק בין קו המשווה לקוטבי כדור הארץ. כלומר נקבע ש-10,000 ק"מ הם רבע מהיקף כדור הארץ  (הקשת המתאימה לזווית מרכזית של ˚90). מאחר והמרחק המדויק לא היה ידוע אז , וגם אינו ידוע כיום , אלא עם שיפור המדידות הוא הולך ונעשה מדויק יותר , הרי שהיה צורך לשמר את המטר התקני המקורי - מרחק בין שני פסים המסומנים על מוט העשוי מפלטינום ואירידיום, והוא מצוי במוזיאון המדידות בסבר ליד פאריס. מ-1983 הוגדר המטר כמרחק אותו עוברת קרן אור בווקוום בפרק זמן של  1/299792458 שניה.

 

---

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה:

Eratosthene Sagan

צפו בסרט יפהפה של ה- BBC המסביר ומדגים את התגלית המפליאה של אֶרַטוֹסתֶנֶס.
אל תחמיצו את ההסבר מאיר העיניים  "כיצד יתכן שבאותה שעה בדיוק יש בשני מקומות שונים בעולם אורך צל שונה?"

The World is Round

סרט קצרצר המסביר בבהירות את המסקנה המתבקשת של אֶרַטוֹסתֶנֶס כי העולם עגול. בסרט הדגמה יפה על חישובי הזוויות הכלולות בשיטה.

Circumference & More Geometry

סרטון של ערוץ NASA החינוכי, על מדידת היקף כדור הארץ על זוויות בין החותך של ישרים מקבילים ועוד גיאומטריה.

כיצד רעיונות פשוטים מובילים לתגליות מדעיות? (TED)

---

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

בכדי שנמדוד היום את הקף כדור הארץ אנחנו נשתמש באותם שיטות ועקרונות בהם השתמש אֶרַטוֹסתֶנֶס לפני יותר מ-2000 שנה. (ראשית נבצע את המדידה ביום השוויון equinox), בו היום והלילה שווים באורכם, החל ב-22 בספטמבר, אז מסתיים הקיץ ומתחיל הסתיו. בכדי לוודא שקרני השמש אנכיות מעל קוו המשווה, בדומה לבאר של סיינה, בצעו את הניסוי בחצות היום הזה.
מצאו את המרחק בין מקום המדידה שלכם לבין קו המשווה בעזרת האטלס או מקורות אחרים.
כעת תוכלו לחשב את היקף כדור הארץ.

כל מה שאתם צריכים זה מוט, מקל התקוע אנכית באדמה ומד זווית.
ב-22 בספטמבר, בחצות היום, כאשר השמש  גבוהה בשמיים מדדו את הזווית של הצל שיוצר המוט.

 

תוכלו למדוד את הזווית בעזרת מד זווית, אך נוח לחשבה בעזרת טריגונומטריה:

טיפים:

1. השתמשו בפלס בכדי לוודא שהקרקע ישרה.

2. השתמשו בחוט הקשור למוט ובקצהו חברו אבן.

3. בכדי לדייק מצאו את זמן "חצות היום", הזמן בו השמש נמצאת בזניט.

4. בצעו כמה שיותר מדידות בכדי למצוא קירוב טוב יותר.

---

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם:

1. הרשמו בין 1-22 לספטמבר באתר הפרוייקט "מדידת היקף כדה"א".

2. בצעו את הניסוי בין ה-19 ל-24 בספטמבר. (שימו לב שמומלץ לבצע ביום השוויון)

3. שתפו את תוצאותיכם בטופס של דוח הניסוי.

4. צפו גם בתוצאות הניסוי של האחרים.

---

שאלות הרחבה:

1. מהו רדיוס כדור הארץ?

2. מהם גורמי השגיאה המשמעותיים במדידה?

3. אם כדור הארץ היה שטוח כיצד הניסוי היה מושפע מכך?

4. למזלו של אֶרַטוֹסתֶנֶס הוא הכיר מקום בו השמש נמצאת בזניט, בדיוק ב- 90˚ מעל קו המשווה בחצות היום. האם תוכלו לבצע את הניסוי ללא מידע זה? האם ניתן לבצע את המדידות משני מקומות כלשהם?
רמז- תוכלו להעזר באיור הבא:

5. קצרצרים... 2 חידות על חתול, ספורטאי וכדור הארץ.

 

---

קישורים:

אֶרַטוֹסתֶנֶס מקירנה- מאמר בגלילאו על האיש ותגליותיו.
 " אֵרָטוֹסְתֶנֶּס תמיד ייזכר כאדם הראשון שהצליח לְחַשֵּׁב אֶת הֶיקֵּפוֹ של כדור הארץ."

מדע כדור הארץ : מהו היקף כדור הארץ? -  מאמר מאת צביה לוטן.
שם מצטטים את אֶרַטוֹסתֶנֶס באומרו "מצפייה בכוכבים אנו למדים גם שהארץ לא די שהיא כדורית אלא שאין מידתה גדולה..."

מהו היקף כדור הארץ? פעילות חמד"ע

Real World Learning Objects -  פעילות מתוקשבת (באנגלית) בה הסברים מעמיקים על שיטתו של אֶרַטוֹסתֶנֶס וביצוע הניסוי במצבים שונים. כולל אפלטים ואיורים גרפיים.

The Noon Day Project-  פרוייקט עולמי נוסף למדידת הקף כדור הארץ, מלווה בהסברים ובסרטי וידאו וכמו גם תמונות רבות של משתתפים בניסוי.

The library of Eratosthenes- עוד פרוייקט עולמי נוסף בו משתתפים תלמידים מרחבי העולם. האתר מנוהל בשפות רבות (לא בעברית..). שם תוכלו למצוא סיפורי ניסוי בווידאו ובתמונות.

Eratosthenes Experiment_HighSchool  - פעילות אינטראקטיבית לתלמידים המשולבת שימוש בGoogle Earth, סרטונים והסברים.

   

תקציר| שעשועים אלגבריים| פתרונות| تسالي جبرية| حلول

1. מצאתי, מצאתי!

א. לילי השתעשעה בחישובים שונים במחשבון ושמה לב לסדרת התרגילים המפתיעה:

"גיליתי כלל חדש!" - צעקה לילי בהתלהבות.

מהו הכלל שאותו גילתה לילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

ב. גילי גם הוא חיפש וחיפש תרגילים מעניינים:

"מצאתי, מצאתי!"

מהו הכלל שאותו גילה גילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

2. מתחלק ב-8

המורה גלית נתנה לתלמידיה משימה:

בחרו שני  מספרים אי-זוגיים עוקבים, העלו אותם בריבוע וחשבו את ההפרש ביניהם.
 "האם כולכם קיבלתם מספר המתחלק ב-8 ? "

        

א. האם זה תמיד נכון? הוכיחו טענתכם.

ב. עופר טען שאפשר לבחור כל שני מספרים אי זוגיים והקסם יעבוד. למשל:

                    176 = 49- 225 =72 - 152 

הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים כלשהם מתחלק ב-8.

3. זוגות - זוגות

א. בחרו ארבעה מספרים עוקבים. 
כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שבתווך.

בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ב. בחרו חמישה מספרים עוקבים. 

כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון).

בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ג. התוכלו לשער מה יקרה אם נבחר n  מספרים עוקבים ונכפיל את הזוג שבקצוות ואת הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון). 

תקציר |  ארבע בעיות על משוואה ריבועית | פתרונות | أربع مسائل حول المعادلة التربيعية | حلول 

1. המספרים המסתתרים
   חשבו מהם המספרים המסתתרים מאחורי הביטויים האינסופיים הבאים:
   
   
   מקור: Nrich.maths.org

   ---

2. תכסיס לפתרון משוואה ריבועית

   שי למד לפתור בקלות בע"פ, באמצעות פירוק לגורמים, משוואות ריבועיות מנורמלות (שמקדם ה-x2 שלהן הוא 1) מהצורה: x² + px + q = 0
   אך הוא נטה להתקשות למצוא במהירות את שורשי המשוואות הריבועיות מהצורה הכללית: ax² + bx + c = 0
   לכן הוא המציא תכסיס חדש לפתרון:
   בכדי לפתור את המשוואה: 6x² - 7x - 3 = 0 הוא פתר בע"פ את המשוואה x² - 7x - 6^.3 = 0.
   פתרונותיה הם: 9, 2-.
   כעת הוא חילק כל פתרון ב- 6 וטען כי פתרונות המשוואה הנתונה הם:
   
   א. האם שי צודק?
   ב. האם ניתן להכליל את השיטה של שי?
       כלומר האם ניתן על בסיס פתרונות משוואה ריבועית מנורמלת למצוא את הפתרונות של משוואה ריבועית כלשהי.
       אם כן, תארו את השיטה והוכיחו.

   ---

3. "בית גידול" למשוואות ריבועיות
   ניקח את המשוואה: x² - 13x + 36 = 0 ונצמיח ממנה 17 משוואות חדשות שהן 'קרובות משפחה' של המשוואה המקורית:
   
   א. תארו כיצד מייצר "בית הגידול" משוואות ריבועיות חדשות.
   ב. מהם הפתרונות של כל אחת מהמשוואות? האם קיים קשר ביניהם?
   ג. נסו לחזור על 'ההצמחה' מסוג זה לגבי משוואה ריבועית אחרת.
   ד. מצאו את ערכו המתאים ל- c, כך שניתן יהיה להצמיח 23 (!) משוואות חדשות מתוך המשוואה: x² - 17x + c = 0.
   
   מקור: שאלות 3-2 אוסף פעילויות באלגברה, קלרה זיסקין, קשר ח"ם.

   ---

4. משוואה ריבועית פרדוקסלית
   נתונה המשוואה:
   
   הראו כי: 5, 3-, 2 מקיימים את המשוואה.
   
   א. האם ייתכן שלמשוואה ריבועית יהיו שלושה פתרונות? הסבירו.
   ב. התוכלו לבנות עוד 'משוואות' ריבועיות כאלה?

   
   מקור: תבלינים, קשר ח"ם.